أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABC، CDE مثلثين متساويين على قاعدتين متساويتين BC، CE وفي جهة واحدة. فنقول: إنهما بين خطين متوازيين بعينهما، أي إن AD موازٍ لـ BE. (جرّب سحب A أو B أو C أو D.)
2. وإلا فلنُخرج من A الخط AF موازيًا لـ BE، ونصل FE. (رُسمت F حيث يضعها هذا الفرض.)

   القضية I.31المصادرة 1

   القضية I.31: أن نُخرج من نقطة معلومة خطًا مستقيمًا موازيًا لخط مستقيم معلوم.

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
3. فيكون المثلث ABC مساويًا للمثلث FCE، لأنهما على قاعدتين متساويتين BC، CE وبين المتوازيين نفسيهما BE، AF.

   القضية I.38

   القضية I.38: المثلثات التي على قواعد متساوية وبين خطين متوازيين بأعيانهما متساوية.
4. لكن ABC مساوٍ لـ DCE؛ فـ DCE أيضًا مساوٍ لـ FCE، الأعظم للأصغر، وهذا محال.

   العلم المتعارف 1العلم المتعارف 5

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.

   العلم المتعارف 5: الكل أعظم من الجزء.
5. فليس AF موازيًا لـ BE، ولا أي خط آخر غير AD. فـ AD موازٍ لـ BE.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.