Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.40 · Lehrsatz

Gleiche Dreiecke auf gleichen Grundlinien und auf derselben Seite liegen auch zwischen denselben Parallelen.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. ABC, CDE seien gleiche Dreiecke auf den gleichen Grundlinien BC, CE und auf derselben Seite. Behauptung: Sie liegen auch zwischen denselben Parallelen, das heißt, AD ist parallel zu BE. (Ziehen Sie A, B, C oder D.)
  2. Andernfalls ziehe man durch A die Gerade AF parallel zu BE und ziehe FE. (F ist so gezeichnet, wie diese Annahme es verlangen würde.)
    Proposition I.31Postulat 1
    Proposition I.31: Durch einen gegebenen Punkt eine einer gegebenen Geraden parallele Gerade zu ziehen.
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  3. Dann ist das Dreieck ABC dem Dreieck FCE gleich, denn sie stehen auf den gleichen Grundlinien BC, CE und zwischen denselben Parallelen BE, AF.
    Proposition I.38
    Proposition I.38: Dreiecke auf gleichen Grundlinien und zwischen denselben Parallelen sind einander gleich.
  4. Aber ABC ist gleich DCE; also wäre auch DCE gleich FCE, das größere dem kleineren, was unmöglich ist.
    Axiom 1Axiom 5
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
    Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.
  5. Also ist AF nicht parallel zu BE, und ebenso keine andere Gerade außer AD. Also ist AD parallel zu BE.