Начала Евклида Книга I

1. Пусть ABC, CDE — равные треугольники на равных основаниях BC, CE и по одну сторону. Утверждается, что они находятся и между одними параллельными, то есть AD параллельна BE. (Попробуйте перетащить A, B, C или D.)
2. Если нет, проведём через A прямую AF, параллельную BE, и проведём FE. (Точка F нарисована там, где её поместило бы это допущение.)

   Предложение I.31Постулат 1

   Предложение I.31: Через данную точку провести прямую линию, параллельную данной прямой.

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
3. Тогда треугольник ABC равен треугольнику FCE, ибо они стоят на равных основаниях BC, CE и между одними параллельными BE, AF.

   Предложение I.38

   Предложение I.38: Треугольники, находящиеся на равных основаниях и между одними и теми же параллельными, равны между собой.
4. Но ABC равен DCE; значит, и DCE равен FCE, больший меньшему, что невозможно.

   Аксиома 1Аксиома 5

   Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.

   Аксиома 5: И целое больше части.
5. Значит, AF не параллельна BE; и так же никакая другая прямая, кроме AD. Итак, AD параллельна BE.

Что и требовалось доказать.