Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soient ABC, CDE des triangles égaux sur les bases égales BC, CE et du même côté. Je dis qu'ils sont aussi entre les mêmes parallèles, c'est-à-dire que AD est parallèle à BE. (Essayez de déplacer A, B, C ou D.)
2. Sinon, menons par A la droite AF parallèle à BE, et menons FE. (F est placé comme le voudrait cette supposition.)

   Proposition I.31Demande 1

   Proposition I.31 : Par un point donné, mener une droite parallèle à une droite donnée.

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
3. Alors le triangle ABC est égal au triangle FCE, car ils sont sur les bases égales BC, CE et entre les mêmes parallèles BE, AF.

   Proposition I.38

   Proposition I.38 : Les triangles construits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux.
4. Mais ABC est égal à DCE ; donc DCE est aussi égal à FCE, le plus grand au plus petit, ce qui est impossible.

   Notion commune 1Notion commune 5

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.

   Notion commune 5 : Le tout est plus grand que la partie.
5. Donc AF n'est pas parallèle à BE ; et de même aucune autre droite que AD. Donc AD est parallèle à BE.

Ce qu'il fallait démontrer.