几何原本 卷一

1. 设 ABC、CDE 是在相等的底 BC、CE 上、在同一侧的相等三角形。断言：它们在同一对平行线之间，即 AD 平行于 BE。（拖动 A、B、C 或 D 试试。）
2. 如果不然，过 A 作 AF 平行于 BE，连接 FE。（图中的 F 是按这个假设画的。）

   命题 I.31公设 1

   命题 I.31：过一已知点作一直线平行于已知直线。

   公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
3. 那么三角形 ABC 等于三角形 FCE，因为它们在相等的底 BC、CE 上、在同一对平行线 BE、AF 之间。

   命题 I.38

   命题 I.38：在等底上且在相同两平行线之间的三角形彼此相等。
4. 但 ABC 等于 DCE，所以 DCE 也等于 FCE，较大的等于较小的，这是不可能的。

   公理 1公理 5

   公理 1：等于同量的量彼此相等。

   公理 5：整体大于部分。
5. 所以 AF 不平行于 BE；同理，除 AD 以外的任何直线都不平行于 BE。所以 AD 平行于 BE。

这就是所要证明的。