Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.1 · Aufgabe

Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die gegebene Strecke sei AB. Man soll über AB ein gleichseitiges Dreieck errichten.
  2. Mit dem Mittelpunkt A und dem Abstand AB zeichne man den Kreis BCD.
    Postulat 3
    Postulat 3: dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
  3. Ferner zeichne man mit dem Mittelpunkt B und dem Abstand BA den Kreis ACE.
    Postulat 3
    Postulat 3: dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
  4. Vom Punkt C, in dem die Kreise einander schneiden, ziehe man nach den Punkten A, B die Strecken CA, CB.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  5. Da der Punkt A Mittelpunkt des Kreises CDB ist, ist AC gleich AB.
    Definition 15
    Definition 15: Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfasste Figur, so dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.
  6. Ebenso ist, da der Punkt B Mittelpunkt des Kreises CAE ist, BC gleich BA.
    Definition 15
    Definition 15: Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfasste Figur, so dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.
  7. Also ist jede der Strecken CA, CB gleich AB. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich; also ist auch CA gleich CB. Die drei Strecken CA, AB, BC sind also einander gleich, und das Dreieck ABC ist gleichseitig und über der gegebenen Strecke AB errichtet.
    Axiom 1
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.