Proposition I.1 · Problème
Sur une droite finie donnée, construire un triangle équilatéral.
Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
- Soit AB la droite finie donnée. Il faut construire un triangle équilatéral sur AB.
- Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons le cercle BCD.Demande 3Demande 3 : D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire un cercle.
- De nouveau, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons le cercle ACE.Demande 3Demande 3 : D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire un cercle.
- Du point C, où les cercles se coupent, menons aux points A, B les droites CA, CB.Demande 1Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
- Puisque le point A est le centre du cercle CDB, AC est égale à AB.Définition 15Définition 15 : Le cercle est une figure plane comprise par une seule ligne, telle que toutes les droites menées vers elle d'un des points placés à l'intérieur de la figure sont égales entre elles.
- De même, puisque le point B est le centre du cercle CAE, BC est égale à BA.Définition 15Définition 15 : Le cercle est une figure plane comprise par une seule ligne, telle que toutes les droites menées vers elle d'un des points placés à l'intérieur de la figure sont égales entre elles.
- Ainsi chacune des droites CA, CB est égale à AB. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles ; donc CA est aussi égale à CB. Les trois droites CA, AB, BC sont donc égales entre elles, et le triangle ABC est équilatéral, construit sur la droite finie donnée AB.Notion commune 1Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
Ce qu'il fallait faire.