命題 I.1 · 作図題
与えられた有限な直線の上に正三角形を作図すること。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- AB を与えられた有限な直線とする。AB の上に正三角形を作図しなければならない。
- 中心 A、距離 AB で円 BCD を描く。公準 3公準 3：任意の中心と距離で円を描くこと。
- また中心 B、距離 BA で円 ACE を描く。公準 3公準 3：任意の中心と距離で円を描くこと。
- 2 つの円が交わる点 C から、点 A、B へ直線 CA、CB を引く。公準 1公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
- 点 A は円 CDB の中心だから、AC は AB に等しい。定義 15定義 15：円とは 1 本の線に囲まれた平面図形で、図形の内部にある 1 点からその線へ引いたすべての線分が互いに等しいものである。
- また点 B は円 CAE の中心だから、BC は BA に等しい。定義 15定義 15：円とは 1 本の線に囲まれた平面図形で、図形の内部にある 1 点からその線へ引いたすべての線分が互いに等しいものである。
- よって CA、CB はどちらも AB に等しい。同じものに等しいものは互いにも等しいから、CA は CB にも等しい。こうして 3 直線 CA、AB、BC は互いに等しく、三角形 ABC は正三角形であり、与えられた有限な直線 AB の上に作図された。公理 1公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。
これが作図すべきことであった。