Euklids Elemente Buch I

Buch I · Grundlagen

Definitionen

ὅροι · 23 insgesamt; sie benennen die Dinge, von denen die Propositionen handeln

1. 1Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
2. 2Eine Linie ist breitenlose Länge.
3. 3Die Enden einer Linie sind Punkte.
4. 4Eine gerade Linie ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.
5. 5Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.
6. 6Die Enden einer Fläche sind Linien.
7. 7Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmäßig liegt.
8. 8Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne in gerader Linie zu liegen.
9. 9Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade sind, heißt der Winkel geradlinig.
10. 10Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, gleiche Nebenwinkel bildet, so ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter, und die stehende gerade Linie heißt senkrecht (ein Lot) zu der, auf der sie steht.
11. 11Stumpf ist ein Winkel, der größer als ein Rechter ist.
12. 12Spitz ist ein Winkel, der kleiner als ein Rechter ist.
13. 13Eine Grenze ist das, worin etwas endet.
14. 14Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfasst wird.
15. 15Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfasste Figur, so dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.
16. 16Und dieser Punkt heißt Mittelpunkt des Kreises.
17. 17Ein Durchmesser des Kreises ist jede durch den Mittelpunkt gezogene und auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke; eine solche halbiert auch den Kreis.
18. 18Ein Halbkreis ist die vom Durchmesser und dem durch ihn abgeschnittenen Bogen umfasste Figur. Der Mittelpunkt des Halbkreises ist derselbe wie der des Kreises.
19. 19Geradlinige Figuren sind die von Strecken umfassten: dreiseitige die von drei, vierseitige die von vier, vielseitige die von mehr als vier Strecken umfassten.
20. 20Unter den dreiseitigen Figuren ist ein gleichseitiges Dreieck jedes mit drei gleichen Seiten, ein gleichschenkliges jedes mit nur zwei gleichen Seiten, ein ungleichseitiges jedes mit drei ungleichen Seiten.
21. 21Weiter ist unter den dreiseitigen Figuren ein rechtwinkliges Dreieck jedes mit einem rechten Winkel, ein stumpfwinkliges jedes mit einem stumpfen Winkel, ein spitzwinkliges jedes mit drei spitzen Winkeln.
22. 22Unter den vierseitigen Figuren ist ein Quadrat jede, die gleichseitig und rechtwinklig ist; ein Rechteck jede, die rechtwinklig, aber nicht gleichseitig ist; eine Raute jede, die gleichseitig, aber nicht rechtwinklig ist; ein Rhomboid jede, deren gegenüberliegende Seiten und Winkel einander gleich sind, die aber weder gleichseitig noch rechtwinklig ist. Die übrigen Vierecke sollen Trapeze heißen.
23. 23Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und, nach beiden Seiten ins Unendliche verlängert, auf keiner Seite einander treffen.

Postulate

αἰτήματα · 5 insgesamt; die ersten drei sind Lineal und Zirkel

1. 1Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
2. 2dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
3. 3dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
4. 4dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
5. 5und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich auf der Seite treffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.

Axiome

κοιναὶ ἔννοιαι · 5 insgesamt, auch „allgemeine Begriffe“ genannt; allgemeine Wahrheiten über die Gleichheit

1. 1Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
2. 2Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
3. 3Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
4. 4Was einander deckt, ist einander gleich.
5. 5Das Ganze ist größer als der Teil.