Начала Евклида Книга I

Книга I · Основания

Определения

ὅροι · всего 23; они называют то, о чём говорят предложения

1. 1Точка есть то, что не имеет частей.
2. 2Линия же — длина без ширины.
3. 3Концы же линии — точки.
4. 4Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
5. 5Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. 6Концы же поверхности — линии.
7. 7Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.
8. 8Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по прямой.
9. 9Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным.
10. 10Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
11. 11Тупой угол — больший прямого.
12. 12Острый же — меньший прямого.
13. 13Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
14. 14Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.
15. 15Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии, на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой.
16. 16Центром же круга называется эта точка.
17. 17Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведённая через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга; она же и рассекает круг пополам.
18. 18Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им окружностью. Центр полукруга тот же, что и у круга.
19. 19Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми: трёхсторонние — между тремя, четырёхсторонние — между четырьмя, многосторонние — между более чем четырьмя прямыми.
20. 20Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный — имеющая только две равные стороны, разносторонний — имеющая три неравные стороны.
21. 21Кроме того, из трёхсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный — имеющий тупой угол, остроугольный — имеющий три острых угла.
22. 22Из четырёхсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя, и прямоугольная; разносторонник — прямоугольная, но не равносторонняя; ромб — равносторонняя, но не прямоугольная; ромбоид — имеющая противоположные стороны и углы равными между собой, но не являющаяся ни равносторонней, ни прямоугольной. Остальные же четырёхсторонники будем называть трапециями.
23. 23Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.

Постулаты

αἰτήματα · всего 5; первые три — это линейка и циркуль

1. 1Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. 2И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. 3И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4. 4И что все прямые углы равны между собой.
5. 5И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы

κοιναὶ ἔννοιαι · всего 5, их называют также «общими понятиями»; общие истины о равенстве

1. 1Равные одному и тому же равны и между собой.
2. 2И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. 3И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. 4И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
5. 5И целое больше части.