Les Éléments d'Euclide Livre I

Livre I · Fondements

Définitions

ὅροι · 23 au total ; elles nomment les objets dont parlent les propositions

1. 1Le point est ce qui n'a aucune partie.
2. 2La ligne est une longueur sans largeur.
3. 3Les extrémités d'une ligne sont des points.
4. 4La ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.
5. 5La surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
6. 6Les extrémités d'une surface sont des lignes.
7. 7La surface plane est celle qui est également placée entre ses droites.
8. 8L'angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan et qui ne sont pas placées en ligne droite.
9. 9Lorsque les lignes qui comprennent l'angle sont droites, l'angle est dit rectiligne.
10. 10Lorsqu'une droite tombant sur une droite fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit, et la droite qui se tient dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle tombe.
11. 11L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.
12. 12L'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit.
13. 13Une limite est ce qui est l'extrémité de quelque chose.
14. 14Une figure est ce qui est compris par une ou plusieurs limites.
15. 15Le cercle est une figure plane comprise par une seule ligne, telle que toutes les droites menées vers elle d'un des points placés à l'intérieur de la figure sont égales entre elles.
16. 16Ce point s'appelle le centre du cercle.
17. 17Le diamètre du cercle est une droite quelconque menée par le centre et terminée de part et d'autre par la circonférence du cercle ; elle partage le cercle en deux parties égales.
18. 18Le demi-cercle est la figure comprise par le diamètre et la portion de circonférence qu'il retranche. Le centre du demi-cercle est le même que celui du cercle.
19. 19Les figures rectilignes sont celles qui sont comprises par des droites : trilatères, celles qui sont comprises par trois ; quadrilatères, par quatre ; multilatères, par plus de quatre droites.
20. 20Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celui qui a ses trois côtés égaux ; l'isocèle, celui qui a seulement deux côtés égaux ; le scalène, celui qui a ses trois côtés inégaux.
21. 21De plus, parmi les figures trilatères, le triangle rectangle est celui qui a un angle droit ; l'obtusangle, celui qui a un angle obtus ; l'acutangle, celui qui a ses trois angles aigus.
22. 22Parmi les quadrilatères, le carré est celui qui est à la fois équilatéral et rectangle ; le rectangle (oblong), celui qui est rectangle sans être équilatéral ; le losange, celui qui est équilatéral sans être rectangle ; le rhomboïde, celui dont les côtés et les angles opposés sont égaux, sans être ni équilatéral ni rectangle. Les autres quadrilatères s'appellent trapèzes.
23. 23Les droites parallèles sont celles qui, étant dans un même plan et prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.

Demandes

αἰτήματα · 5 au total ; les trois premières sont la règle et le compas

1. 1Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
2. 2Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
3. 3D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire un cercle.
4. 4Que tous les angles droits sont égaux entre eux.
5. 5Que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Notions communes

κοιναὶ ἔννοιαι · 5 au total ; des vérités générales sur l'égalité

1. 1Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
2. 2Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.
3. 3Si de choses égales on retranche des choses égales, les restes sont égaux.
4. 4Les choses qui coïncident entre elles sont égales entre elles.
5. 5Le tout est plus grand que la partie.