Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.10 · Aufgabe

Eine gegebene Strecke zu halbieren.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die gegebene Strecke sei AB. Man soll die Strecke AB halbieren.
  2. Über AB errichte man das gleichseitige Dreieck ABC.
    Proposition I.1
    Proposition I.1: Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten.
  3. Den Winkel ACB halbiere man durch die Strecke CD, die AB in D trifft. Behauptung: Die Strecke AB ist im Punkt D halbiert.
    Proposition I.9
    Proposition I.9: Einen gegebenen geradlinigen Winkel zu halbieren.
  4. Da AC gleich CB ist und CD gemeinsam ist, sind die zwei Seiten AC, CD den zwei Seiten BC, CD entsprechend gleich; auch ist der Winkel ACD gleich dem Winkel BCD; also ist die Grundlinie AD gleich der Grundlinie BD. Damit ist die gegebene Strecke AB in D halbiert.
    Proposition I.4
    Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.