Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.10 · Problème

Partager en deux parties égales une droite finie donnée.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit AB la droite finie donnée. Il faut partager la droite finie AB en deux parties égales.
  2. Sur AB, construisons le triangle équilatéral ABC.
    Proposition I.1
    Proposition I.1 : Sur une droite finie donnée, construire un triangle équilatéral.
  3. Partageons l'angle ACB en deux parties égales par la droite CD, qui coupe AB en D. Je dis que la droite AB est partagée en deux parties égales au point D.
    Proposition I.9
    Proposition I.9 : Partager en deux parties égales un angle rectiligne donné.
  4. Puisque AC est égale à CB et que CD est commune, les deux côtés AC, CD sont égaux aux deux côtés BC, CD, chacun à chacun ; et l'angle ACD est égal à l'angle BCD ; donc la base AD est égale à la base BD. La droite finie donnée AB est donc partagée en deux parties égales en D.
    Proposition I.4
    Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.