साध्य I.11 · रचना
दी गई सरल रेखा पर स्थित दिए गए बिंदु से उस पर समकोण बनाती सरल रेखा खींचना।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए AB दी गई सरल रेखा है और C उस पर दिया गया बिंदु है (इसे खींचा जा सकता है)। बिंदु C से AB पर समकोण बनाती सरल रेखा खींचनी है।
- AC पर कोई भी बिंदु D लीजिए (इसे खींचा जा सकता है), और CE को CD के बराबर बनाइए।साध्य I.3साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।
- DE पर समबाहु त्रिभुज FDE बनाइए।साध्य I.1साध्य I.1: दी गई सांत सरल रेखा पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना करना।
- FC मिलाइए। दावा: FC ही C से AB पर समकोण बनाती खींची गई सरल रेखा है।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- चूँकि DC, CE के बराबर है और CF उभयनिष्ठ है, इसलिए दो भुजाएँ DC, CF दो भुजाओं EC, CF के बराबर हैं, और आधार DF आधार FE के बराबर है; अतः कोण DCF कोण ECF के बराबर है।साध्य I.8साध्य I.8: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और आधार भी आधार के बराबर हो, तो बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर होंगे।
- और ये आसन्न कोण हैं। जब किसी सरल रेखा पर खड़ी सरल रेखा बराबर आसन्न कोण बनाती है, तो प्रत्येक समकोण होता है; अतः कोण DCF, FCE दोनों समकोण हैं, और FC, AB पर समकोण बनाती है।परिभाषा 10परिभाषा 10: जब किसी सरल रेखा पर खड़ी की गई सरल रेखा आसन्न कोणों को परस्पर बराबर बनाती है, तब प्रत्येक बराबर कोण समकोण होता है, और खड़ी रेखा उस रेखा पर लंब कहलाती है जिस पर वह खड़ी है।
यही रचना करनी थी।