Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.12 · Aufgabe

Auf eine gegebene unbegrenzte Gerade von einem gegebenen, nicht auf ihr liegenden Punkt aus das Lot zu fällen.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die gegebene unbegrenzte Gerade sei AB und C der gegebene Punkt, der nicht auf ihr liegt. Man soll von C aus das Lot auf AB fällen.
  2. Auf der anderen Seite von AB nehme man einen beliebigen Punkt D an (er lässt sich ziehen).
  3. Mit dem Mittelpunkt C und dem Abstand CD zeichne man den Kreis EFG; er schneidet AB in E und G.
    Postulat 3
    Postulat 3: dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
  4. Man halbiere EG in H.
    Proposition I.10
    Proposition I.10: Eine gegebene Strecke zu halbieren.
  5. Man ziehe CG, CH, CE. Behauptung: CH ist das von C auf AB gefällte Lot.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  6. Da GH gleich HE ist und HC gemeinsam, sind die zwei Seiten GH, HC den zwei Seiten EH, HC gleich, und die Grundlinie CG ist gleich der Grundlinie CE; also ist der Winkel CHG gleich dem Winkel EHC.
    Proposition I.8
    Proposition I.8: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und auch die Grundlinie der Grundlinie gleich ist, dann sind auch die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich.
  7. Und sie sind Nebenwinkel. Bildet eine auf eine Gerade gestellte Gerade gleiche Nebenwinkel, so ist jeder ein Rechter, und die stehende Gerade heißt Lot. Also ist CH das von C auf AB gefällte Lot.
    Definition 10
    Definition 10: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, gleiche Nebenwinkel bildet, so ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter, und die stehende gerade Linie heißt senkrecht (ein Lot) zu der, auf der sie steht.