命題 I.12 · 作図題
与えられた無限直線に、その上にない与えられた点から垂線を下ろすこと。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- AB を与えられた無限直線、C をその上にない与えられた点とする。点 C から AB に垂線を下ろさなければならない。
- AB の反対側に任意の点 D をとる（ドラッグできます）。
- 中心 C、距離 CD で円 EFG を描く。それは AB と E、G で交わる。公準 3公準 3：任意の中心と距離で円を描くこと。
- EG を H で 2 等分する。命題 I.10命題 I.10：与えられた有限な直線を 2 等分すること。
- CG、CH、CE を結ぶ。主張：CH が C から AB に下ろした垂線である。公準 1公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
- GH は HE に等しく、HC は共通だから、2 辺 GH、HC は 2 辺 EH、HC に等しく、底辺 CG は底辺 CE に等しい。よって角 CHG は角 EHC に等しい。命題 I.8命題 I.8：2 つの三角形が 2 辺をそれぞれ 2 辺に等しくもち、さらに底辺も底辺に等しければ、等しい直線にはさまれた角も等しい。
- そしてこれらは隣り合う角である。直線上に立つ直線が隣り合う角を等しくするとき、それぞれは直角であり、立つ直線は垂線とよばれる。よって CH が C から AB に下ろした垂線である。定義 10定義 10：直線が直線の上に立って、隣り合う角を互いに等しくするとき、等しい角のそれぞれは直角であり、立っている直線は、それが立つ直線に対して垂線とよばれる。
これが作図すべきことであった。