命题 I.12 · 作图题
由已知无限直线外一已知点作该直线的垂线。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设 AB 是已知的无限直线，C 是不在它上面的已知点。要求从点 C 向 AB 作垂线。
- 在 AB 的另一侧任取一点 D（可以拖动）。
- 以 C 为圆心、CD 为距离作圆 EFG，它与 AB 交于 E、G。公设 3公设 3：以任意点为心、任意距离为半径可以画圆。
- 把 EG 二等分于点 H。命题 I.10命题 I.10：二等分一条已知有限直线。
- 连接 CG、CH、CE。断言：CH 就是从 C 向 AB 所作的垂线。公设 1公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
- 因为 GH 等于 HE，HC 是公共边，两边 GH、HC 分别等于两边 EH、HC，而且底 CG 等于底 CE，所以 ∠CHG 等于 ∠EHC。命题 I.8命题 I.8：若两个三角形的三边分别相等，则夹在相等边之间的角也相等。
- 这两个角是相邻的，彼此相等的相邻角都是直角，而立着的直线叫做垂线。所以 CH 就是从 C 向 AB 所作的垂线。定义 10定义 10：一条直线立在另一条直线上，若所成的两个邻角彼此相等，则每一个角都叫做直角，而立着的直线叫做另一条直线的垂线。
这就是所要作的。