Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soit AB la droite infinie donnée, et C le point donné qui n'est pas sur elle. Il faut abaisser du point C une perpendiculaire sur AB.
2. Prenons un point quelconque D de l'autre côté de AB (vous pouvez le déplacer).
3. Du centre C et de l'intervalle CD, décrivons le cercle EFG ; il coupe AB en E et G.

   Demande 3

   Demande 3 : D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire un cercle.
4. Partageons EG en deux parties égales en H.

   Proposition I.10

   Proposition I.10 : Partager en deux parties égales une droite finie donnée.
5. Menons CG, CH, CE. Je dis que CH est la perpendiculaire abaissée de C sur AB.

   Demande 1

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
6. Puisque GH est égale à HE et que HC est commune, les deux côtés GH, HC sont égaux aux deux côtés EH, HC, et la base CG est égale à la base CE ; donc l'angle CHG est égal à l'angle EHC.

   Proposition I.8

   Proposition I.8 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et la base égale à la base, ils auront aussi égaux les angles compris par les droites égales.
7. Et ils sont adjacents. Lorsqu'une droite élevée sur une droite fait les angles adjacents égaux, chacun est droit, et la droite élevée s'appelle perpendiculaire. Donc CH est la perpendiculaire abaissée de C sur AB.

   Définition 10

   Définition 10 : Lorsqu'une droite tombant sur une droite fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit, et la droite qui se tient dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle tombe.

Ce qu'il fallait faire.