साध्य I.12 · रचना
दी गई अनंत सरल रेखा पर, उस पर न स्थित दिए गए बिंदु से लंब डालना।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए AB दी गई अनंत सरल रेखा है, और C दिया गया बिंदु है जो उस पर नहीं है। बिंदु C से AB पर लंब डालना है।
- AB की दूसरी ओर कोई भी बिंदु D लीजिए (इसे खींचा जा सकता है)।
- केंद्र C और दूरी CD से वृत्त EFG खींचिए; यह AB को E और G पर काटता है।अभिगृहीत 3अभिगृहीत 3: किसी भी केंद्र और किसी भी दूरी से वृत्त खींचा जा सकता है।
- EG को H पर समद्विभाजित कीजिए।साध्य I.10साध्य I.10: दी गई सांत सरल रेखा को समद्विभाजित करना।
- CG, CH, CE मिलाइए। दावा: CH ही C से AB पर डाला गया लंब है।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- चूँकि GH, HE के बराबर है और HC उभयनिष्ठ है, इसलिए दो भुजाएँ GH, HC दो भुजाओं EH, HC के बराबर हैं, और आधार CG आधार CE के बराबर है; अतः कोण CHG कोण EHC के बराबर है।साध्य I.8साध्य I.8: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और आधार भी आधार के बराबर हो, तो बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर होंगे।
- और ये आसन्न कोण हैं। जब किसी सरल रेखा पर खड़ी सरल रेखा बराबर आसन्न कोण बनाती है, तो प्रत्येक समकोण होता है और खड़ी रेखा लंब कहलाती है। अतः CH ही C से AB पर डाला गया लंब है।परिभाषा 10परिभाषा 10: जब किसी सरल रेखा पर खड़ी की गई सरल रेखा आसन्न कोणों को परस्पर बराबर बनाती है, तब प्रत्येक बराबर कोण समकोण होता है, और खड़ी रेखा उस रेखा पर लंब कहलाती है जिस पर वह खड़ी है।
यही रचना करनी थी।