Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.13 · Lehrsatz

Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die auf die Gerade CD gestellte Gerade AB bilde die Winkel CBA, ABD. Behauptung: Die Winkel CBA, ABD sind entweder zwei Rechte oder zusammen zwei Rechten gleich. (Ziehen Sie A oder B.)
  2. Ist der Winkel CBA gleich dem Winkel ABD, so sind es zwei Rechte.
    Definition 10
    Definition 10: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, gleiche Nebenwinkel bildet, so ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter, und die stehende gerade Linie heißt senkrecht (ein Lot) zu der, auf der sie steht.
  3. Andernfalls errichte man in B die Gerade BE rechtwinklig zu CD; dann sind die Winkel CBE, EBD zwei Rechte.
    Proposition I.11
    Proposition I.11: Auf einer gegebenen Geraden in einem gegebenen Punkt auf ihr eine rechtwinklige Gerade zu errichten.
  4. Da der Winkel CBE den zwei Winkeln CBA, ABE zusammen gleich ist, füge man beiderseits den Winkel EBD hinzu; dann sind die Winkel CBE, EBD den drei Winkeln CBA, ABE, EBD gleich.
    Axiom 2
    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
  5. Ebenso ist der Winkel DBA den zwei Winkeln DBE, EBA zusammen gleich; man füge beiderseits den Winkel ABC hinzu; dann sind die Winkel DBA, ABC den drei Winkeln DBE, EBA, ABC gleich.
    Axiom 2
    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
  6. Die Winkel CBE, EBD und die Winkel DBA, ABC sind also denselben drei Winkeln gleich und damit einander gleich. Die Winkel CBE, EBD sind zwei Rechte; also sind auch die Winkel DBA, ABC zusammen zwei Rechten gleich.
    Axiom 1
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.