命题 I.13 · 定理
一条直线与另一条直线所成的角，或者是两个直角，或者等于两直角之和。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设直线 AB 立在直线 CD 上，形成 ∠CBA、∠ABD。断言：这两个角或者都是直角，或者它们的和等于两个直角。（拖动 A 或 B 试试。）
- 如果 ∠CBA 等于 ∠ABD，那么它们是两个直角。定义 10定义 10：一条直线立在另一条直线上，若所成的两个邻角彼此相等，则每一个角都叫做直角，而立着的直线叫做另一条直线的垂线。
- 如果不等，就从点 B 作 BE 与 CD 成直角。于是 ∠CBE、∠EBD 是两个直角。命题 I.11命题 I.11：由已知直线上一已知点作一直线与已知直线成直角。
- 因为 ∠CBE 等于 ∠CBA 与 ∠ABE 之和，两边各加上 ∠EBD，所以 ∠CBE、∠EBD 之和等于 ∠CBA、∠ABE、∠EBD 三者之和。公理 2公理 2：等量加等量，其和仍相等。
- 又因为 ∠DBA 等于 ∠DBE 与 ∠EBA 之和，两边各加上 ∠ABC，所以 ∠DBA、∠ABC 之和等于 ∠DBE、∠EBA、∠ABC 三者之和。公理 2公理 2：等量加等量，其和仍相等。
- ∠CBE、∠EBD 之和与 ∠DBA、∠ABC 之和都等于同样的三个角之和，所以彼此相等。前者是两个直角，所以 ∠DBA、∠ABC 之和也等于两个直角。公理 1公理 1：等于同量的量彼此相等。
这就是所要证明的。