Начала Евклида Книга I

23 определения · 5 постулатов · 5 аксиом · 48 предложений

Предложение I.13 · Теорема

Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она образует или два прямых, или углы, вместе равные двум прямым.

Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
  1. Пусть прямая AB, восставленная на прямой CD, образует углы CBA, ABD. Утверждается, что углы CBA, ABD либо два прямых, либо вместе равны двум прямым. (Попробуйте перетащить A или B.)
  2. Если угол CBA равен углу ABD, то это два прямых угла.
    Определение 10
    Определение 10: Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
  3. Если нет, проведём из точки B прямую BE под прямыми углами к CD; тогда углы CBE, EBD — два прямых.
    Предложение I.11
    Предложение I.11: К данной прямой из данной на ней точки провести прямую под прямыми углами.
  4. Так как угол CBE равен двум углам CBA, ABE, прибавим к каждому угол EBD; значит, углы CBE, EBD равны трём углам CBA, ABE, EBD.
    Аксиома 2
    Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
  5. Далее, так как угол DBA равен двум углам DBE, EBA, прибавим к каждому угол ABC; значит, углы DBA, ABC равны трём углам DBE, EBA, ABC.
    Аксиома 2
    Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
  6. Итак, углы CBE, EBD и углы DBA, ABC равны одним и тем же трём углам, а значит, и между собой. Углы CBE, EBD — два прямых; значит, и углы DBA, ABC вместе равны двум прямым.
    Аксиома 1
    Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.