ユークリッド原論 第1巻

1. 直線 AB が直線 CD の上に立って角 CBA、ABD をつくるとする。主張：角 CBA、ABD は 2 直角であるか、その和が 2 直角に等しい。（A や B をドラッグしてみてください。）
2. 角 CBA が角 ABD に等しければ、それらは 2 直角である。

   定義 10

   定義 10：直線が直線の上に立って、隣り合う角を互いに等しくするとき、等しい角のそれぞれは直角であり、立っている直線は、それが立つ直線に対して垂線とよばれる。
3. 等しくなければ、点 B から CD に直角に BE を引く。すると角 CBE、EBD は 2 直角である。

   命題 I.11

   命題 I.11：与えられた直線上の与えられた点から、その直線に直角に直線を引くこと。
4. 角 CBE は 2 角 CBA、ABE の和に等しいから、それぞれに角 EBD を加えると、角 CBE、EBD の和は 3 角 CBA、ABE、EBD の和に等しい。

   公理 2

   公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。
5. また角 DBA は 2 角 DBE、EBA の和に等しいから、それぞれに角 ABC を加えると、角 DBA、ABC の和は 3 角 DBE、EBA、ABC の和に等しい。

   公理 2

   公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。
6. よって角 CBE、EBD の和と角 DBA、ABC の和は同じ 3 角の和に等しく、したがって互いに等しい。角 CBE、EBD は 2 直角だから、角 DBA、ABC の和も 2 直角に等しい。

   公理 1

   公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。

これが証明すべきことであった。