Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.14 · Lehrsatz

Wenn an einer geraden Linie in einem Punkt auf ihr zwei nicht auf derselben Seite liegende gerade Linien Nebenwinkel bilden, die zusammen zwei Rechten gleich sind, dann liegen diese zwei geraden Linien in gerader Linie.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. An der Geraden AB bilden im Punkt B auf ihr zwei nicht auf derselben Seite liegende Geraden BC, BD Nebenwinkel ABC, ABD, die zusammen zwei Rechten gleich sind. Behauptung: BD liegt mit CB in gerader Linie. (Ziehen Sie die Punkte: D liegt stets auf der Verlängerung von CB.)
  2. Läge BD nicht mit CB in gerader Linie, so liege BE mit CB in gerader Linie. (E ist so gezeichnet, wie diese Annahme es verlangen würde.)
  3. Da die Gerade AB auf der Geraden CBE steht, sind die Winkel ABC, ABE zusammen zwei Rechten gleich.
    Proposition I.13
    Proposition I.13: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.
  4. Aber auch die Winkel ABC, ABD sind zusammen zwei Rechten gleich, und alle rechten Winkel sind gleich; also sind die Winkel CBA, ABE den Winkeln CBA, ABD gleich.
    Postulat 4Axiom 1
    Postulat 4: dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
  5. Man nehme beiderseits den Winkel CBA weg; dann ist der übrige Winkel ABE gleich dem übrigen Winkel ABD, der kleinere dem größeren, was unmöglich ist. Also liegt BE nicht mit CB in gerader Linie, und ebenso keine andere Gerade außer BD. Also liegt CB mit BD in gerader Linie.
    Axiom 3Axiom 5
    Axiom 3: Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
    Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.