Предложение I.14 · Теорема
Если к какой-нибудь прямой и в какой-нибудь её точке две прямые, лежащие не по одну сторону, образуют смежные углы, вместе равные двум прямым, то эти прямые будут по прямой друг с другом.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть к прямой AB в её точке B две прямые BC, BD, лежащие не по одну сторону, образуют смежные углы ABC, ABD, вместе равные двум прямым. Утверждается, что BD находится на одной прямой с CB. (Перетаскивайте точки: D всегда лежит на продолжении CB.)
- Если BD не на одной прямой с CB, пусть BE будет на одной прямой с CB. (Точка E нарисована там, где её поместило бы это допущение.)
- Так как прямая AB восставлена на прямой CBE, углы ABC, ABE вместе равны двум прямым.Предложение I.13Предложение I.13: Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она образует или два прямых, или углы, вместе равные двум прямым.
- Но и углы ABC, ABD вместе равны двум прямым, а все прямые углы равны; значит, углы CBA, ABE равны углам CBA, ABD.Постулат 4Аксиома 1Постулат 4: И что все прямые углы равны между собой.Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
- Отнимем от каждых угол CBA; тогда остающийся угол ABE равен остающемуся углу ABD, меньший большему, что невозможно. Значит, BE не на одной прямой с CB, и так же никакая другая прямая, кроме BD. Итак, CB находится на одной прямой с BD.Аксиома 3Аксиома 5Аксиома 3: И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.Аксиома 5: И целое больше части.
Что и требовалось доказать.