Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.14 · Teorema

Si con una recta y en un punto de ella dos rectas no situadas del mismo lado forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos, las dos rectas estarán en línea recta.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Con la recta AB y en su punto B, formen las dos rectas BC, BD, no situadas del mismo lado, ángulos adyacentes ABC, ABD iguales a dos rectos. Se afirma que BD está en línea recta con CB. (Arrastra los puntos: D siempre cae en la prolongación de CB.)
  2. Si BD no está en línea recta con CB, sea BE la que está en línea recta con CB. (E está dibujado donde lo situaría esta suposición.)
  3. Como la recta AB está levantada sobre la recta CBE, los ángulos ABC, ABE son iguales a dos rectos.
    Proposición I.13
    Proposición I.13: Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, formará o dos ángulos rectos o ángulos iguales a dos rectos.
  4. Pero los ángulos ABC, ABD también son iguales a dos rectos, y todos los rectos son iguales; por tanto los ángulos CBA, ABE son iguales a los ángulos CBA, ABD.
    Postulado 4Noción común 1
    Postulado 4: Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
  5. Quítese de cada uno el ángulo CBA; el ángulo restante ABE es igual al ángulo restante ABD, el menor al mayor, lo cual es imposible. Así, BE no está en línea recta con CB, y del mismo modo ninguna otra recta salvo BD. Por tanto CB está en línea recta con BD.
    Noción común 3Noción común 5
    Noción común 3: Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
    Noción común 5: El todo es mayor que la parte.