Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.14 · Théorème

Si, avec une droite et en un de ses points, deux droites non placées du même côté font les angles adjacents égaux à deux droits, ces deux droites seront en ligne droite.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Avec la droite AB et en son point B, que les deux droites BC, BD, non placées du même côté, fassent les angles adjacents ABC, ABD égaux à deux droits. Je dis que BD est en ligne droite avec CB. (Déplacez les points : D tombe toujours sur le prolongement de CB.)
  2. Si BD n'est pas en ligne droite avec CB, soit BE en ligne droite avec CB. (E est placé comme le voudrait cette supposition.)
  3. Puisque la droite AB est élevée sur la droite CBE, les angles ABC, ABE sont égaux à deux droits.
    Proposition I.13
    Proposition I.13 : Si une droite élevée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou des angles égaux à deux droits.
  4. Mais les angles ABC, ABD sont aussi égaux à deux droits, et tous les angles droits sont égaux ; donc les angles CBA, ABE sont égaux aux angles CBA, ABD.
    Demande 4Notion commune 1
    Demande 4 : Que tous les angles droits sont égaux entre eux.
    Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
  5. Retranchons de part et d'autre l'angle CBA ; l'angle restant ABE est égal à l'angle restant ABD, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc BE n'est pas en ligne droite avec CB, ni aucune autre droite que BD. Donc CB est en ligne droite avec BD.
    Notion commune 3Notion commune 5
    Notion commune 3 : Si de choses égales on retranche des choses égales, les restes sont égaux.
    Notion commune 5 : Le tout est plus grand que la partie.