几何原本 卷一

1. 在直线 AB 上的点 B，不在 AB 同一侧的两条直线 BC、BD 所成的相邻角 ∠ABC、∠ABD 之和等于两个直角。断言：BD 与 CB 在同一条直线上。（拖动各点，D 总是落在 CB 的延长线上。）
2. 假如 BD 不与 CB 在同一条直线上，设 BE 与 CB 在同一条直线上。（图中的 E 是按这个假设画的。）
3. 因为直线 AB 立在直线 CBE 上，所以 ∠ABC 与 ∠ABE 之和等于两个直角。

   命题 I.13

   命题 I.13：一条直线与另一条直线所成的角，或者是两个直角，或者等于两直角之和。
4. 而 ∠ABC 与 ∠ABD 之和也等于两个直角，所有直角都相等，所以 ∠CBA、∠ABE 之和等于 ∠CBA、∠ABD 之和。

   公设 4公理 1

   公设 4：凡直角都彼此相等。

   公理 1：等于同量的量彼此相等。
5. 两边各减去 ∠CBA，余下的 ∠ABE 等于余下的 ∠ABD，较小的等于较大的，这是不可能的。所以 BE 不与 CB 在同一条直线上；同理，除 BD 以外的任何直线都不与 CB 在同一条直线上。所以 CB 与 BD 在同一条直线上。

   公理 3公理 5

   公理 3：等量减等量，其差仍相等。

   公理 5：整体大于部分。

这就是所要证明的。