Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.15 · Lehrsatz

Wenn zwei gerade Linien einander schneiden, sind die Scheitelwinkel einander gleich.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die Geraden AB, CD mögen einander im Punkt E schneiden. Behauptung: Der Winkel AEC ist gleich dem Winkel DEB und der Winkel CEB gleich dem Winkel AED. (Alle vier Endpunkte lassen sich ziehen.)
  2. Da die Gerade AE auf der Geraden CD steht und die Winkel CEA, AED bildet, sind diese zusammen zwei Rechten gleich.
    Proposition I.13
    Proposition I.13: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.
  3. Ebenso steht die Gerade DE auf der Geraden AB und bildet die Winkel AED, DEB; auch diese sind zusammen zwei Rechten gleich.
    Proposition I.13
    Proposition I.13: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.
  4. Also sind die Winkel CEA, AED den Winkeln AED, DEB gleich. Man nehme beiderseits den Winkel AED weg; dann ist der übrige Winkel CEA gleich dem übrigen Winkel BED.
    Postulat 4Axiom 1Axiom 3
    Postulat 4: dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
    Axiom 3: Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
  5. Ebenso lässt sich zeigen, dass der Winkel CEB gleich dem Winkel DEA ist.