命題 I.15 · 定理
2 直線が交われば、対頂角は互いに等しい。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- 直線 AB、CD が点 E で交わるとする。主張：角 AEC は角 DEB に、角 CEB は角 AED に等しい。（4 つの端点はすべてドラッグできます。）
- 直線 AE は直線 CD の上に立って角 CEA、AED をつくるから、その和は 2 直角に等しい。命題 I.13命題 I.13：直線が直線の上に立って角をつくるならば、2 直角か、または 2 直角に等しい角をつくる。
- また直線 DE は直線 AB の上に立って角 AED、DEB をつくるから、その和も 2 直角に等しい。命題 I.13命題 I.13：直線が直線の上に立って角をつくるならば、2 直角か、または 2 直角に等しい角をつくる。
- よって角 CEA、AED の和は角 AED、DEB の和に等しい。それぞれから角 AED を引くと、残りの角 CEA は残りの角 BED に等しい。公準 4公理 1公理 3公準 4：すべての直角は互いに等しいこと。公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。公理 3：等しいものから等しいものが引かれれば、残りは等しい。
- 同様にして、角 CEB は角 DEA に等しいことが示される。
これが証明すべきことであった。