साध्य I.15 · प्रमेय
यदि दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटें, तो शीर्षाभिमुख कोण परस्पर बराबर होते हैं।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए सरल रेखाएँ AB, CD एक-दूसरे को बिंदु E पर काटती हैं। दावा: कोण AEC कोण DEB के बराबर है, और कोण CEB कोण AED के बराबर है। (चारों सिरों को खींचा जा सकता है।)
- चूँकि सरल रेखा AE सरल रेखा CD पर खड़ी होकर कोण CEA, AED बनाती है, इसलिए इनका योग दो समकोणों के बराबर है।साध्य I.13साध्य I.13: यदि कोई सरल रेखा किसी सरल रेखा पर खड़ी होकर कोण बनाए, तो वह या तो दो समकोण बनाएगी या दो समकोणों के बराबर कोण।
- फिर, चूँकि सरल रेखा DE सरल रेखा AB पर खड़ी होकर कोण AED, DEB बनाती है, इसलिए इनका योग भी दो समकोणों के बराबर है।साध्य I.13साध्य I.13: यदि कोई सरल रेखा किसी सरल रेखा पर खड़ी होकर कोण बनाए, तो वह या तो दो समकोण बनाएगी या दो समकोणों के बराबर कोण।
- अतः कोण CEA, AED का योग कोण AED, DEB के योग के बराबर है। दोनों में से कोण AED घटाइए; तो शेष कोण CEA शेष कोण BED के बराबर है।अभिगृहीत 4स्वयंसिद्ध 1स्वयंसिद्ध 3अभिगृहीत 4: सभी समकोण परस्पर बराबर होते हैं।स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।स्वयंसिद्ध 3: यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष बराबर होते हैं।
- इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि कोण CEB कोण DEA के बराबर है।
यही सिद्ध करना था।