Предложение I.15 · Теорема
Если две прямые пересекаются, то они образуют вертикальные углы, равные между собой.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть прямые AB, CD пересекаются в точке E. Утверждается, что угол AEC равен углу DEB, а угол CEB равен углу AED. (Все четыре конца можно перетаскивать.)
- Так как прямая AE восставлена на прямой CD и образует углы CEA, AED, эти углы вместе равны двум прямым.Предложение I.13Предложение I.13: Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она образует или два прямых, или углы, вместе равные двум прямым.
- Далее, так как прямая DE восставлена на прямой AB и образует углы AED, DEB, эти углы также вместе равны двум прямым.Предложение I.13Предложение I.13: Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она образует или два прямых, или углы, вместе равные двум прямым.
- Значит, углы CEA, AED равны углам AED, DEB. Отнимем от каждых угол AED; тогда остающийся угол CEA равен остающемуся углу BED.Постулат 4Аксиома 1Аксиома 3Постулат 4: И что все прямые углы равны между собой.Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.Аксиома 3: И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
- Подобным же образом доказывается, что угол CEB равен углу DEA.
Что и требовалось доказать.