أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABC مثلثًا، ولنُخرج ضلعه BC إلى D. فنقول: إن الزاوية الخارجة ACD أعظم من كل واحدة من الزاويتين الداخلتين المقابلتين CBA، BAC. (يمكن سحب الرؤوس الثلاثة.)

   المصادرة 2

   المصادرة 2: أن نُخرج الخط المستقيم المحدود على استقامته متصلًا.
2. نقسم AC بنصفين عند E.

   القضية I.10

   القضية I.10: أن نقسم خطًا مستقيمًا محدودًا معلومًا بنصفين.
3. ونصل BE ونُخرجه إلى F، ونجعل EF مساويًا لـ BE.

   المصادرة 1المصادرة 2القضية I.3

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.

   المصادرة 2: أن نُخرج الخط المستقيم المحدود على استقامته متصلًا.

   القضية I.3: إذا عُلم خطان مستقيمان غير متساويين، أن نفصل من الأعظم خطًا مساويًا للأصغر.
4. ونصل FC.

   المصادرة 1

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
5. لأن AE مساوٍ لـ EC، وBE مساوٍ لـ EF، والزاوية AEB مساوية لمقابلتها بالرأس FEC،

   القضية I.15

   القضية I.15: إذا تقاطع خطان مستقيمان كانت الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتين.
6. تكون القاعدة AB مساوية للقاعدة FC، والمثلث ABE مساويًا للمثلث FEC، والزاوية BAE مساوية للزاوية ECF.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
7. لكن الزاوية ECD أعظم من الزاوية ECF؛ فالزاوية ACD أعظم من الزاوية BAE.

   العلم المتعارف 5

   العلم المتعارف 5: الكل أعظم من الجزء.
8. وبمثل ذلك، إذا قسمنا BC بنصفين وأخرجنا AC إلى G، تبيّن أن الزاوية BCG، المساوية لمقابلتها بالرأس ACD، أعظم من الزاوية ABC.

   القضية I.15

   القضية I.15: إذا تقاطع خطان مستقيمان كانت الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتين.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.