Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.16 · Théorème

Dans tout triangle, si l'on prolonge un des côtés, l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit ABC un triangle, et prolongeons son côté BC jusqu'en D. Je dis que l'angle extérieur ACD est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés CBA, BAC. (Les trois sommets peuvent être déplacés.)
    Demande 2
    Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
  2. Partageons AC en deux parties égales en E.
    Proposition I.10
    Proposition I.10 : Partager en deux parties égales une droite finie donnée.
  3. Menons BE et prolongeons-la jusqu'en F, en faisant EF égale à BE.
    Demande 1Demande 2Proposition I.3
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
    Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
    Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.
  4. Menons FC.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  5. Puisque AE est égale à EC et BE à EF, et que l'angle AEB est égal à son opposé par le sommet FEC,
    Proposition I.15
    Proposition I.15 : Si deux droites se coupent, elles font les angles opposés au sommet égaux entre eux.
  6. la base AB est égale à la base FC, le triangle ABE est égal au triangle FEC, et l'angle BAE est égal à l'angle ECF.
    Proposition I.4
    Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
  7. Mais l'angle ECD est plus grand que l'angle ECF ; donc l'angle ACD est plus grand que l'angle BAE.
    Notion commune 5
    Notion commune 5 : Le tout est plus grand que la partie.
  8. De même, en partageant BC en deux parties égales et en prolongeant AC jusqu'en G, on démontre que l'angle BCG, égal à son opposé par le sommet ACD, est plus grand que l'angle ABC.
    Proposition I.15
    Proposition I.15 : Si deux droites se coupent, elles font les angles opposés au sommet égaux entre eux.