Начала Евклида Книга I

1. Пусть ABC — треугольник, и пусть его сторона BC продолжена до D. Утверждается, что внешний угол ACD больше каждого из внутренних противолежащих углов CBA, BAC. (Все три вершины можно перетаскивать.)

   Постулат 2

   Постулат 2: И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
2. Рассечём AC пополам в точке E.

   Предложение I.10

   Предложение I.10: Данную ограниченную прямую рассечь пополам.
3. Проведём BE и продолжим её до F, отложив EF, равную BE.

   Постулат 1Постулат 2Предложение I.3

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

   Постулат 2: И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

   Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.
4. Проведём FC.

   Постулат 1

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
5. Так как AE равна EC, а BE равна EF, и вертикальный угол AEB равен углу FEC,

   Предложение I.15

   Предложение I.15: Если две прямые пересекаются, то они образуют вертикальные углы, равные между собой.
6. то основание AB равно основанию FC, треугольник ABE равен треугольнику FEC, и угол BAE равен углу ECF.

   Предложение I.4

   Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
7. Но угол ECD больше угла ECF; значит, угол ACD больше угла BAE.

   Аксиома 5

   Аксиома 5: И целое больше части.
8. Подобным же образом, рассекши BC пополам и продолжив AC до G, докажем, что угол BCG, равный вертикальному с ним углу ACD, больше угла ABC.

   Предложение I.15

   Предложение I.15: Если две прямые пересекаются, то они образуют вертикальные углы, равные между собой.

Что и требовалось доказать.