Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.16 · Teorema

En todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Sea ABC un triángulo y prolónguese su lado BC hasta D. Se afirma que el ángulo exterior ACD es mayor que cada uno de los ángulos interiores y opuestos CBA, BAC. (Los tres vértices se pueden arrastrar.)
    Postulado 2
    Postulado 2: Prolongar continuamente en línea recta una recta finita.
  2. Divídase AC en dos partes iguales en E.
    Proposición I.10
    Proposición I.10: Dividir en dos partes iguales una recta finita dada.
  3. Trácese BE y prolónguese hasta F, haciendo EF igual a BE.
    Postulado 1Postulado 2Proposición I.3
    Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
    Postulado 2: Prolongar continuamente en línea recta una recta finita.
    Proposición I.3: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
  4. Trácese FC.
    Postulado 1
    Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  5. Como AE es igual a EC y BE a EF, y el ángulo opuesto por el vértice AEB es igual al ángulo FEC,
    Proposición I.15
    Proposición I.15: Si dos rectas se cortan, forman ángulos opuestos por el vértice iguales entre sí.
  6. la base AB es igual a la base FC, el triángulo ABE es igual al triángulo FEC, y el ángulo BAE es igual al ángulo ECF.
    Proposición I.4
    Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
  7. Pero el ángulo ECD es mayor que el ángulo ECF; por tanto el ángulo ACD es mayor que el ángulo BAE.
    Noción común 5
    Noción común 5: El todo es mayor que la parte.
  8. Del mismo modo, dividiendo BC en dos partes iguales y prolongando AC hasta G, se demuestra que el ángulo BCG, igual a su opuesto por el vértice ACD, es mayor que el ángulo ABC.
    Proposición I.15
    Proposición I.15: Si dos rectas se cortan, forman ángulos opuestos por el vértice iguales entre sí.