ユークリッド原論 第1巻

定義 23 · 公準 5 · 公理 5 · 命題 48

命題 I.16 · 定理

任意の三角形において、1 辺を延長すれば、外角は内対角のいずれよりも大きい。

赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
  1. ABC を三角形とし、その辺 BC を D まで延長する。主張：外角 ACD は内対角 CBA、BAC のどちらよりも大きい。（3 つの頂点はすべてドラッグできます。）
    公準 2
    公準 2：有限な直線を連続して一直線に延長すること。
  2. AC を E で 2 等分する。
    命題 I.10
    命題 I.10：与えられた有限な直線を 2 等分すること。
  3. BE を結んで F まで延長し、EF を BE に等しくする。
    公準 1公準 2命題 I.3
    公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
    公準 2：有限な直線を連続して一直線に延長すること。
    命題 I.3：等しくない 2 直線が与えられたとき、大きい方から小さい方に等しい直線を切り取ること。
  4. FC を結ぶ。
    公準 1
    公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
  5. AE は EC に、BE は EF に等しく、対頂角 AEB は角 FEC に等しいから、
    命題 I.15
    命題 I.15：2 直線が交われば、対頂角は互いに等しい。
  6. 底辺 AB は底辺 FC に等しく、三角形 ABE は三角形 FEC に等しく、角 BAE は角 ECF に等しい。
    命題 I.4
    命題 I.4：2 つの三角形が 2 辺をそれぞれ 2 辺に等しくもち、等しい直線にはさまれた角が等しいならば、底辺も底辺に等しく、三角形は三角形に等しく、残りの角も残りの角にそれぞれ等しい。
  7. しかし角 ECD は角 ECF より大きい。よって角 ACD は角 BAE より大きい。
    公理 5
    公理 5：全体は部分より大きい。
  8. 同様に、BC を 2 等分し AC を G まで延長すれば、角 BCG（対頂角 ACD に等しい）が角 ABC より大きいことが示される。
    命題 I.15
    命題 I.15：2 直線が交われば、対頂角は互いに等しい。