साध्य I.16 · प्रमेय
किसी भी त्रिभुज में, एक भुजा बढ़ाने पर बना बहिष्कोण किसी भी अंतः सम्मुख कोण से बड़ा होता है।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है, और उसकी भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। दावा: बहिष्कोण ACD दोनों अंतः सम्मुख कोणों CBA, BAC में से प्रत्येक से बड़ा है। (तीनों शीर्षों को खींचा जा सकता है।)अभिगृहीत 2अभिगृहीत 2: किसी सांत सरल रेखा को सीध में लगातार बढ़ाया जा सकता है।
- AC को E पर समद्विभाजित कीजिए।साध्य I.10साध्य I.10: दी गई सांत सरल रेखा को समद्विभाजित करना।
- BE मिलाइए और उसे F तक बढ़ाइए, ताकि EF, BE के बराबर हो।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 2साध्य I.3अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।अभिगृहीत 2: किसी सांत सरल रेखा को सीध में लगातार बढ़ाया जा सकता है।साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।
- FC मिलाइए।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- चूँकि AE, EC के बराबर है और BE, EF के बराबर है, और शीर्षाभिमुख कोण AEB कोण FEC के बराबर है,साध्य I.15साध्य I.15: यदि दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटें, तो शीर्षाभिमुख कोण परस्पर बराबर होते हैं।
- इसलिए आधार AB आधार FC के बराबर है, त्रिभुज ABE त्रिभुज FEC के बराबर है, और कोण BAE कोण ECF के बराबर है।साध्य I.4साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।
- पर कोण ECD कोण ECF से बड़ा है; अतः कोण ACD कोण BAE से बड़ा है।स्वयंसिद्ध 5स्वयंसिद्ध 5: पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
- इसी प्रकार, BC को समद्विभाजित करके और AC को G तक बढ़ाकर सिद्ध किया जा सकता है कि कोण BCG, जो अपने शीर्षाभिमुख कोण ACD के बराबर है, कोण ABC से बड़ा है।साध्य I.15साध्य I.15: यदि दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटें, तो शीर्षाभिमुख कोण परस्पर बराबर होते हैं।
यही सिद्ध करना था।