Euklids Elemente Buch I

1. Es sei ABC ein Dreieck, und man verlängere die Seite BC bis D. Behauptung: Der Außenwinkel ACD ist größer als jeder der beiden innen gegenüberliegenden Winkel CBA, BAC. (Alle drei Ecken lassen sich ziehen.)

   Postulat 2

   Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
2. Man halbiere AC in E.

   Proposition I.10

   Proposition I.10: Eine gegebene Strecke zu halbieren.
3. Man ziehe BE, verlängere sie bis F und mache EF gleich BE.

   Postulat 1Postulat 2Proposition I.3

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,

   Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,

   Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
4. Man ziehe FC.

   Postulat 1

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
5. Da AE gleich EC und BE gleich EF ist und der Scheitelwinkel AEB gleich dem Winkel FEC,

   Proposition I.15

   Proposition I.15: Wenn zwei gerade Linien einander schneiden, sind die Scheitelwinkel einander gleich.
6. ist die Grundlinie AB gleich der Grundlinie FC, das Dreieck ABE gleich dem Dreieck FEC und der Winkel BAE gleich dem Winkel ECF.

   Proposition I.4

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
7. Der Winkel ECD ist aber größer als der Winkel ECF; also ist der Winkel ACD größer als der Winkel BAE.

   Axiom 5

   Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.
8. Ebenso zeigt man, indem man BC halbiert und AC bis G verlängert, dass der Winkel BCG, der seinem Scheitelwinkel ACD gleich ist, größer ist als der Winkel ABC.

   Proposition I.15

   Proposition I.15: Wenn zwei gerade Linien einander schneiden, sind die Scheitelwinkel einander gleich.

Das war zu beweisen.