几何原本 卷一

欧几里得 · 23 条定义 · 5 条公设 · 5 条公理 · 48 个命题

命题 I.16 · 定理

在任意三角形中，若延长一边，则所成的外角大于任何一个内对角。

红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
  1. 设 ABC 是三角形，把边 BC 延长到 D。断言：外角 ∠ACD 大于内对角 ∠CBA、∠BAC 中的任何一个。（三个顶点都可以拖动。）
    公设 2
    公设 2：一条有限直线可以继续延长。
  2. 把 AC 二等分于点 E。
    命题 I.10
    命题 I.10：二等分一条已知有限直线。
  3. 连接 BE 并延长到 F，使 EF 等于 BE。
    公设 1公设 2命题 I.3
    公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
    公设 2：一条有限直线可以继续延长。
    命题 I.3：已知两条不相等的线段，从较长的线段上截取一段等于较短的线段。
  4. 连接 FC。
    公设 1
    公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
  5. 因为 AE 等于 EC，BE 等于 EF，而对顶角 ∠AEB 等于 ∠FEC，
    命题 I.15
    命题 I.15：若两直线相交，则对顶角相等。
  6. 所以底 AB 等于底 FC，三角形 ABE 全等于三角形 FEC，∠BAE 等于 ∠ECF。
    命题 I.4
    命题 I.4：若两个三角形有两边分别相等，且这两边的夹角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等，其余的角也分别相等。
  7. 但 ∠ECD 大于 ∠ECF，所以 ∠ACD 大于 ∠BAE。
    公理 5
    公理 5：整体大于部分。
  8. 同理，把 BC 二等分，并把 AC 延长到 G，可以证明 ∠BCG（即与 ∠ACD 相等的对顶角）大于 ∠ABC。
    命题 I.15
    命题 I.15：若两直线相交，则对顶角相等。