Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.17 · Lehrsatz

In jedem Dreieck sind zwei Winkel, beliebig zusammengenommen, kleiner als zwei Rechte.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Es sei ABC ein Dreieck. Behauptung: Je zwei Winkel des Dreiecks ABC sind zusammen kleiner als zwei Rechte. (Ziehen Sie die Ecken.)
  2. Man verlängere BC bis D.
    Postulat 2
    Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
  3. Da der Winkel ACD ein Außenwinkel des Dreiecks ABC ist, ist er größer als der innen gegenüberliegende Winkel ABC.
    Proposition I.16
    Proposition I.16: In jedem Dreieck ist, wenn man eine Seite verlängert, der Außenwinkel größer als jeder der beiden inneren gegenüberliegenden Winkel.
  4. Man füge beiderseits den Winkel ACB hinzu; dann sind die Winkel ACD, ACB größer als die Winkel ABC, BCA.
  5. Die Winkel ACD, ACB sind aber zusammen zwei Rechten gleich; also sind die Winkel ABC, BCA zusammen kleiner als zwei Rechte.
    Proposition I.13
    Proposition I.13: Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, Winkel bildet, so bildet sie entweder zwei Rechte oder Winkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind.
  6. Ebenso lässt sich zeigen, dass auch die Winkel BAC, ACB und die Winkel CAB, ABC zusammen kleiner als zwei Rechte sind.