Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.17 · Théorème

Dans tout triangle, deux angles pris ensemble de quelque manière que ce soit sont plus petits que deux droits.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit ABC un triangle. Je dis que deux angles quelconques du triangle ABC, pris ensemble, sont plus petits que deux droits. (Essayez de déplacer les sommets.)
  2. Prolongeons BC jusqu'en D.
    Demande 2
    Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
  3. Puisque l'angle ACD est un angle extérieur du triangle ABC, il est plus grand que l'angle intérieur et opposé ABC.
    Proposition I.16
    Proposition I.16 : Dans tout triangle, si l'on prolonge un des côtés, l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.
  4. Ajoutons à chacun l'angle ACB ; les angles ACD, ACB sont alors plus grands que les angles ABC, BCA.
  5. Mais les angles ACD, ACB sont égaux à deux droits ; donc les angles ABC, BCA sont plus petits que deux droits.
    Proposition I.13
    Proposition I.13 : Si une droite élevée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou des angles égaux à deux droits.
  6. On démontrerait de même que les angles BAC, ACB, ainsi que les angles CAB, ABC, sont plus petits que deux droits.