Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.18 · Lehrsatz

In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Im Dreieck ABC sei die Seite AC größer als die Seite AB. Behauptung: Auch der Winkel ABC ist größer als der Winkel BCA. (Ziehen Sie die Ecken, aber lassen Sie AC länger als AB.)
  2. Von AC schneide man AD gleich AB ab.
    Proposition I.3
    Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
  3. Man ziehe BD.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  4. Da der Winkel ADB ein Außenwinkel des Dreiecks BCD ist, ist er größer als der innen gegenüberliegende Winkel DCB.
    Proposition I.16
    Proposition I.16: In jedem Dreieck ist, wenn man eine Seite verlängert, der Außenwinkel größer als jeder der beiden inneren gegenüberliegenden Winkel.
  5. Der Winkel ADB ist aber gleich dem Winkel ABD, da die Seite AB gleich AD ist; also ist auch der Winkel ABD größer als der Winkel ACB.
    Proposition I.5
    Proposition I.5: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich, und verlängert man die gleichen Strecken, so sind auch die Winkel unter der Grundlinie einander gleich.
  6. Also ist der Winkel ABC erst recht größer als der Winkel ACB.
    Axiom 5
    Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.