命题 I.18 · 定理
在任意三角形中，大边对大角。
红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。
- 设 ABC 是三角形，边 AC 大于边 AB。断言：∠ABC 大于 ∠BCA。（拖动顶点时保持 AC 比 AB 长。）
- 从 AC 上截取 AD 等于 AB。命题 I.3命题 I.3：已知两条不相等的线段，从较长的线段上截取一段等于较短的线段。
- 连接 BD。公设 1公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
- 因为 ∠ADB 是三角形 BCD 的外角，所以它大于内对角 ∠DCB。命题 I.16命题 I.16：在任意三角形中，若延长一边，则所成的外角大于任何一个内对角。
- 但因为边 AB 等于 AD，所以 ∠ADB 等于 ∠ABD。于是 ∠ABD 也大于 ∠ACB。命题 I.5命题 I.5：等腰三角形的两底角相等；若延长两腰，则底边下面的两个角也相等。
- 所以 ∠ABC 更大于 ∠ACB。公理 5公理 5：整体大于部分。
这就是所要证明的。