साध्य I.18 · प्रमेय
किसी भी त्रिभुज में बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण होता है।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए त्रिभुज ABC में भुजा AC भुजा AB से बड़ी है। दावा: कोण ABC भी कोण BCA से बड़ा है। (शीर्षों को खींचिए, पर AC को AB से लंबा रखिए।)
- AC में से AB के बराबर AD काटिए।साध्य I.3साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।
- BD मिलाइए।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- चूँकि कोण ADB त्रिभुज BCD का बहिष्कोण है, यह अंतः सम्मुख कोण DCB से बड़ा है।साध्य I.16साध्य I.16: किसी भी त्रिभुज में, एक भुजा बढ़ाने पर बना बहिष्कोण किसी भी अंतः सम्मुख कोण से बड़ा होता है।
- पर कोण ADB कोण ABD के बराबर है, क्योंकि भुजा AB, AD के बराबर है; अतः कोण ABD भी कोण ACB से बड़ा है।साध्य I.5साध्य I.5: समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के कोण परस्पर बराबर होते हैं, और बराबर रेखाओं को आगे बढ़ाने पर आधार के नीचे के कोण भी परस्पर बराबर होते हैं।
- इसलिए कोण ABC कोण ACB से और भी बड़ा है।स्वयंसिद्ध 5स्वयंसिद्ध 5: पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
यही सिद्ध करना था।