命題 I.18 · 定理
任意の三角形において、大きい辺には大きい角が対する。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- 三角形 ABC において辺 AC が辺 AB より大きいとする。主張：角 ABC も角 BCA より大きい。（AC を AB より長く保ったまま頂点をドラッグしてみてください。）
- AC から AB に等しく AD を切り取る。命題 I.3命題 I.3：等しくない 2 直線が与えられたとき、大きい方から小さい方に等しい直線を切り取ること。
- BD を結ぶ。公準 1公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
- 角 ADB は三角形 BCD の外角だから、内対角 DCB より大きい。命題 I.16命題 I.16：任意の三角形において、1 辺を延長すれば、外角は内対角のいずれよりも大きい。
- しかし辺 AB は AD に等しいから、角 ADB は角 ABD に等しい。よって角 ABD も角 ACB より大きい。命題 I.5命題 I.5：二等辺三角形の底角は互いに等しく、等しい 2 直線を延長すれば、底辺の下の角も互いに等しい。
- ゆえに角 ABC はなおさら角 ACB より大きい。公理 5公理 5：全体は部分より大きい。
これが証明すべきことであった。