Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.19 · Lehrsatz

In jedem Dreieck liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Im Dreieck ABC sei der Winkel ABC größer als der Winkel BCA. Behauptung: Auch die Seite AC ist größer als die Seite AB. (Ziehen Sie die Ecken, aber lassen Sie den Winkel ABC den größeren.)
  2. Wäre es nicht so, so wäre AC entweder gleich AB oder kleiner.
  3. Gleich AB ist AC nicht, denn sonst wäre der Winkel ABC gleich dem Winkel ACB; das ist er aber nicht.
    Proposition I.5
    Proposition I.5: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich, und verlängert man die gleichen Strecken, so sind auch die Winkel unter der Grundlinie einander gleich.
  4. Kleiner als AB ist AC auch nicht, denn sonst wäre der Winkel ABC kleiner als der Winkel ACB; das ist er aber nicht.
    Proposition I.18
    Proposition I.18: In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber.
  5. Also ist AC größer als AB.