Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.19 · Théorème

Dans tout triangle, le plus grand angle est sous-tendu par le plus grand côté.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit ABC un triangle ayant l'angle ABC plus grand que l'angle BCA. Je dis que le côté AC est aussi plus grand que le côté AB. (Déplacez les sommets en gardant l'angle ABC le plus grand.)
  2. Sinon, AC est ou égal à AB, ou plus petit.
  3. Or AC n'est pas égal à AB, car alors l'angle ABC serait égal à l'angle ACB ; ce qui n'est pas.
    Proposition I.5
    Proposition I.5 : Dans les triangles isocèles, les angles à la base sont égaux entre eux et, si l'on prolonge les droites égales, les angles sous la base seront égaux entre eux.
  4. AC n'est pas non plus plus petit que AB, car alors l'angle ABC serait plus petit que l'angle ACB ; ce qui n'est pas.
    Proposition I.18
    Proposition I.18 : Dans tout triangle, le plus grand côté sous-tend le plus grand angle.
  5. Donc AC est plus grand que AB.