Предложение I.19 · Теорема
Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть в треугольнике ABC угол ABC больше угла BCA. Утверждается, что и сторона AC больше стороны AB. (Перетаскивайте вершины, оставляя угол ABC бо́льшим.)
- Если нет, то AC либо равна AB, либо меньше.
- Но AC не равна AB, ибо тогда угол ABC был бы равен углу ACB; а он не равен.Предложение I.5Предложение I.5: У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой, и по продолжении равных прямых углы под основанием будут равны между собой.
- И AC не меньше AB, ибо тогда угол ABC был бы меньше угла ACB; а он не меньше.Предложение I.18Предложение I.18: Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
- Значит, AC больше AB.
Что и требовалось доказать.