Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.20 · Lehrsatz

In jedem Dreieck sind zwei Seiten, beliebig zusammengenommen, größer als die dritte.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Es sei ABC ein Dreieck. Behauptung: Im Dreieck ABC sind je zwei Seiten zusammen größer als die dritte, zum Beispiel BA, AC zusammen größer als BC. (Ziehen Sie die Ecken.)
  2. Man verlängere BA bis zum Punkt D und mache AD gleich CA.
    Postulat 2Proposition I.3
    Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
    Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
  3. Man ziehe DC.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  4. Da DA gleich AC ist, ist der Winkel ADC gleich dem Winkel ACD.
    Proposition I.5
    Proposition I.5: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich, und verlängert man die gleichen Strecken, so sind auch die Winkel unter der Grundlinie einander gleich.
  5. Der Winkel BCD ist aber größer als der Winkel ACD; also ist der Winkel BCD größer als der Winkel ADC.
    Axiom 5
    Axiom 5: Das Ganze ist größer als der Teil.
  6. Im Dreieck DCB ist der Winkel BCD größer als der Winkel BDC, und dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber; also ist DB größer als BC.
    Proposition I.19
    Proposition I.19: In jedem Dreieck liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber.
  7. DB ist aber gleich BA, AC zusammen; also sind BA, AC zusammen größer als BC. Ebenso sind AB, BC größer als CA und BC, CA größer als AB.